是的。与这个问题相关的定理是等周定理[1],虽然圆看似是问题的答案,但这个问题的证明其实并不简单。1902年,Hurwitz给出了一个用Fourier级数所作的证明[3],Hurwitz的证明方法如下:
设,,为一分段光滑的连续封闭曲线的参数形式,引入参数,于是,
由于曲线封闭,有:
,
将,其展开成Fourier级数
则:
又:
,
曲线所围成的面积
根据三角级数的正交性
因此
当且仅当
,
,
等式才成立,也就是
这是圆的参数方程,由此可见,所有分段光滑的连续曲线都满足等周不等式
其中为周长,为面积,当且仅当曲线为圆时等式才成立。如果一定,那么最大为,此时封闭的曲线是圆。
如果封闭曲线参数方程是(二阶导数连续)也可以用变分给出证明。
设这条封闭曲线的参数方程为,,是弧长,曲线封闭,所以-----------------------------------------------------------------------------------------(1)
这条曲线的周长为
---------------------------------------------------------------------------------------(2)
其所围成的面积为
--------------------------------(3)
可见是关于函数的泛函,问题可归结为:
在边界条件(1)和约束条件(2)下,从一切,函数中选一对函数,使目标泛函(3)为极大。
根据Lagrange乘子法,若在(1),(2)约束下函数,使得泛函(3)去取极值,则存在常数,使函数满足辅助泛函
所给出的Euler方程
式中
将G代入上式可得
积分可得
整理得
这是圆族方程,如下图所示,令
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